Die Infinitesimalrechnung ist eine von G. Leibniz und I. Newton unabhängig voneinander entwickelte Methode für die Differential- und Integralrechnung. Sie ermöglichte, eine Funktion auf beliebig kleinen (d. h. infinitesimalen) Abschnitten widerspruchsfrei zu beschreiben.
In der Praxis wird die Infinitesimalrechnung weitgehend durch diskrete Verfahren aufgehoben. Sie ist nur noch mathematisch interessant.
Berechnungen werden mit Computern gemacht.
In der Mathematik ist eine positive Infinitesimalzahl ein Objekt, welches bezüglich der Ordnung der reellen Zahlen größer ist als null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl. In der Praxis wird dagegen mit Grenzwerten gerechnet.
Historisch ist interessant:
Durch Summation von Reihen gelangte G. Leibniz 1675 zur Integral- und von dort zur Differentialrechnung; er dokumentierte seine Erfindung 1684 mit einer Veröffentlichung in den acta eruditorum. Nach heutigen Maßstäben (Priorität der Erstveröffentlichung) würde er als alleiniger Erfinder der Infinitesimalrechnung gelten; diese Betrachtung ist jedoch anachronistisch, da wissenschaftliche Kommunikation im 17. Jahrhundert primär mündlich und per Briefwechsel erfolgte. Bleibendes Verdienst von Leibniz ist insbesondere die heute noch übliche Notation von Differentialen (mit einem Buchstaben d von lat. differentia), Differentialquotienten (dx/dy) und Integralen (; das Integralzeichen ist abgeleitet aus dem Buchstaben S von lat. summa).
Der englische Naturwissenschaftler I. Newton hatte die Grundzüge der Infinitesimalrechnung bereits 1666 entwickelt. Jedoch veröffentlichte er seine Ergebnisse erst 1687. Daraus entwickelte sich Jahrzehnte später der vielleicht berühmteste Prioritätsstreit der Wissenschaftsgeschichte, der bis heute nicht eindeutig entschieden ist: Man kann nicht genau sagen, in welchem Stadium seiner zweifellos eigenständigen Entwicklung Leibniz welche Newton-Briefe gesehen hat und welchen Vorteil er daraus gezogen hat. Die ersten Pamphlete, in denen Leibniz beziehungsweise Newton beschuldigt wurden, den jeweils anderen plagiiert zu haben, erschienen 1699 und 1704. Im Jahr 1711 brach der Streit in voller Schärfe aus. Die Royal Society verabschiedete 1712 einen Untersuchungsbericht, der von Newton selbst fabriziert worden war; Johann Bernoulli antwortete 1713 mit einem persönlichen Angriff auf Newton. Der Streit wurde über Leibniz' Tod hinaus fortgeführt und vergiftete die Beziehungen zwischen englischen und kontinentalen Mathematikern über mehrere Generationen hinweg. Schaden nahm vor allem die Entwicklung der Mathematik in England, die lange an den technisch unterlegenen Newtonschen Notationen festhielt.