Als gleich bezeichne ich zwei Zu- oder Gegenstände, die ich nicht unterscheide(n kann). Gleichheit kann bestehen bezüglich der Qualität, der Quantität oder der Relation. In vielen Fällen scheint sie ganz einfach beobachtbar, in vielen Fällen scheint mysteriös, was ich wie vergleiche.
In der Gleichung haben beide Seiten formal den gleichen Wert, was ich durch das Gleichzeichen "=" ausdrücke.

• Die quantitative Gleichheit stelle ich durch zählen oder messen fest. Das ist einfach, wenn ich Objekte betrachte und wäre sehr kompliziert, wenn ich beispielsweise quantenphysikalische Phänomene betrachten würde.
  Quantitative Gleichheit kann ich nur bezüglich gewählten und isolierten Eigenschaften feststellen.
   
• Die quantitative Gleichheit stelle ich durch Vergleichen von Ausprägungen von Eigenschaftsmengen fest, mit welchen ich Objekte klassifiziere, die ich vergleiche.
  Beispiele:
  Ich vergleiche zwei Äpfel oder zwei Autos, wenn ich einen davon essen oder eines davon kaufen will. Ich vergleiche den Wert einer Waren mit deren Preis
   
  Gleichheit verstehe ich nur negativ, als nicht verändert.
  Der Begriff von "Gleichheit" und/oder "Identität" hängt eng zusammen mit dem, was Piaget "Invarianzen" genannt hat, auch mit dem, was er als "Objektpermanenz" bezeichnet. Kleinkinder entwickeln Objektpermanenz sehr früh in ihrer kognitiven Karriere. Die operationale Analyse des Begriffs der Identität ist schwierig. Aber er wir alle benutzen ihn so wie wir von permanenten Objekten sprechen. Wären wir nicht in der Lage, Objekte konstant zu halten, d. h. sie zu verschiedenen Zeitpunkten als "dieselben" wahrzunehmen, dann könnten wir sie auch nie benennen, schon gar nicht in Beziehungsstrukturen einbauen, wie sie durch die Wörter und Sätze unserer Sprache bezeichnet werden.
   
  Da ich "Gleichheit" ohne Definition verwende, betrachte ich drei notwendigen Bedingungen für den Gebrauch des komplementären Begriffs "Veränderung":
  1. zwei Zeitpunkt im Sinne von zwei getrennten Beobachtungen
  2. die beiden Beobachtungen unterscheiden sich nicht so, dass ich verschiedene Referenzobjekte erkenne
  3. es gibt eine "erklärbare" Differenz zwischen den Beobachtungen
   
  Kritisch ist der 2. Punkt indem Sinne, dass ich die Gleichheit nur im Hinblick auf die Differenz sehen kann.
   
  Jeder Vergleich verlangt ein Gedächtnis.

Ich unterscheide das Gleiche und Dasselbe.

Im ersten Fall bezieht sich die Gleichheit auf zwei verschiedene Exemplare.
Im zweiten Fall auf eine nicht vorhandene Veränderung eines Gegenstandes.
In beiden Fällen vergleiche ich zwei Beobachtungen.

Eine schwache Form der Gleichheit ist die Ähnlichkeit.

Identität verdoppelt Gleichheit durch Wiederhohlung der Unterscheidung im Sinne eines re-entry: Das Gleiche ist dabei nicht gleich, weil es sich verändert, aber das Gleiche bleibt.

Literatur:

"Die Tatsache aber, dass wir X als dasselbe X bei tI wie bei t 2 auffassen, macht es recht unbequem, beide sowohl mit dem Zusatz A als auch ohne ihn zu haben. X mit A zu einem Zeitpunkt und ohne A zum nächsten Zeitpunkt (oder umgekehrt) zu beobachten, ergibt eine Differenz, und diese Differenz kontrastiert mit der Gleichheit (Identität), die wir angenommen haben. So beginnen wir also nach etwas anderem Ausschau zu halten, nach einem anderen Element, das wir für das Auftreten der Differenz verantwortlich machen können.
David Hume, der gewöhnlich als Urheber des modernen wissenschaftlichen Begriffs der Kausalität betrachtet wird, hat genau untersucht, wie wir dazu gelangen, ein spezifisches Element für eine gegebene Veränderung verantwortlich zu machen, ein Element, das wir sodann als "Ursache" bezeichnen, während wir die Veränderung zu ihrer ,,(Aus)Wirkung" erklären. Hume bestand mit aller Schärfe darauf, dass wir, wie genau wir auch immer das verursachende Element untersuchen mögen, niemals irgendeine Art von Spur oder Samenkom der Wirkung darin finden können. In seiner Auffassung ist der Kausalnexus ausschliesslich auf unsere Feststellung gegründet, dass "bestimmte Gegenstände in unserer Erfahrung beständig miteinander verbunden sind" (Hume 1750/1903)." (Weil und die Begriffe der Verursachung:44)

Gleichheit ist ein politisches Ideal, das 1776 in der Unabhängigkeitserklärung der Vereinigten Staaten verfassungsrechtliche Bedeutung erlangte. Gleichheit war neben Freiheit und Brüderlichkeit eines der drei Leitmotive der Französischen Revolution von 1789 (liberté, égalité, fraternité). Es ist ein demokratisches Grundprinzip, dass alle Menschen vor dem Gesetz gleich sind.