Ich unterscheide: Algebra: Gleichungen mit Unbekannten Boolesche Algebra: Notation zur Aussagenlogik Schaltalgebra: Metapher für die Beschreibung von Prozessoren. Die deutsche Wikipedia unterscheidet Boolesche Algebra und Schaltalgebra, die englische Wikipedia leitet "Switching algebra" auf "Boolean algebra" Das sind 3 Gebiete, die sehr wenig miteinander zu tun haben, aber aufgrund der homonymen Bezeichnung sehr oft miteinander vermischt und verwechselt werden.

Als Algebra bezeichne ich eine Lehre über die Verwendung von mathematischen Symbolen, in welcher Gleichungen dadurch vollständig geschrieben werden, dass Unbekannte als zuberechende Variablen eingeführt werden, was als Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen aufgefasst werden kann.

In der Arithmetik entsteht Gleichheit durch das Resultat zur Rechnung. Ich schreibe beispielsweise:
2 + 3 = .. und wenn ich das Reslutat einsetze, habe ich die Gleichung.
In der Algebra schreibe ich dagegen:
2 + 3 = X womit ich die Gleichung bereits habe. Die Algebra bildet so eine Notation zur Arithmetik.

Die algebraische Notation liegt auch den Formeln zugrunde.

Die Verwendung von Zeichen wie a, i, j, x, y als Platzhalter für Zahlen ermöglicht:

• die Formulierung allgemeingültiger arithmetischer Gesetze (beispielsweise a + b = b + a für alle a und b und dient so der systematischen Erkundung der Eigenschaften der reellen Zahlen
• über "unbekannte" Zahlen zu sprechen und so Gleichungen aufzustellen und ihre Lösungsmöglichkeiten zu untersuchen (zum Beispiel "finde die Zahl x mit 3x + 2 = 10")
• die Beschreibung funktionaler Abhängigkeiten (beispielsweise "wenn du x Eintrittskarten verkaufst, dann machst du einen Gewinn von 3x - 10Fr.“)
• die operative Kunst durch Wegnehmen und Hinzufügen Gleichungen zu lösen

Zur Geschichte:
Der Grieche Diophantos von Alexandria, der wahrscheinlich zwischen 100 v. Chr. und 350 n. Chr. lebte verfasste ein 13 Bände umfassendes Werk Arithmetica, das das älteste bis heute erhaltene Werk ist, in dem die algebraische Methode (also das Rechnen mit Buchstaben) verwendet wird.
Eine der ersten Darstellungen der Algebra ist das Aryabhattiya, ein mathematisches Lehrbuch des indischen Mathematikers Aryabhata aus dem 5. Jahrhundert; die verwendete Methodik wurde Bijaganitam genannt.
Im 9. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten die Iraner diese Methode, die sie al-gabr (von arab.: „das Ergänzen“/„das Einrichten“) nannten. Der Begriff ist aus dem Titel des Rechen-Lehrbuchs al-Kitab al-mukhtasar.. („Das kurz gefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“) des persischen Mathematikers al-Chwarizmi (al-Khwarizmi) entnommen, das "die Kunst beschreibt, durch Wegnehmen und Hinzufügen Gleichungen zu lösen" (Keil-Slawik 1990:154).
Die lateinische Übersetzung Ludus algebrae et almucgrabalaeque machte aus „al-gabr“ das heutige ungefähr "Algebra".
In der Neuzeit hat F. Viète 1591 die "Algebra" eingeführt.