Das Ziegenproblem (auch Drei-Türen-Problem oder Monty-Hall-Problem) wird oft als Beispiel dafür verwendet, dass das Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten nicht ganz einfach ist. Die Aufgabe wurde wohl zuerst 1975 vom Biostatistiker Steve Selvin im American Statistician gestellt, aber 1990 durch die Kolumne "Ask Marilyn" im Magazin Parade bekannt, nachdem es in TV-Quiz "gespielt" wurde: In der Hoffnung, ein Auto zu gewinnen, wählt der Kandidat Tor 1 von drei Toren, hinter denen ein Auto verborgen ist. Der Showmaster öffnet daraufhin Tor 3, hinter dem eine Ziegen steht, und bietet dem Kandidaten an, das Tor zu wechseln. Die Frage ist, ob es für den Kandidaten vorteilhaft ist, seine erste Wahl zu ändern und sich für Tor 2 zu entscheiden. Die "Ask Marilyn"-Kolumne machte dann allgemein bekannt, dass der Spieler in diesem Fall wechseln muss, weil sich dabei die Gewinnchance erhöhe, worauf hin der Qiuzmoderator, alle Spieler die wechselten, verlieren liess. So wurde geklärt, dass diese Aufgabe wahrscheinlichkeits- oder spieltheoretisch nicht zu lösen ist, wenn der Spielleiter das Spiel leiten darf. Es gibt also mindestens zwei Ziegenprobleme. Eines, das im Quiz gespielt wird, und ein spieltheoretisches "Spiel", das kein Spiel ist (oder eben ein spieltheoretisches).

Bildquelle: Wikipedia   Siehe auch das 3 Gefangene-Problem

Die Quiz-Situation

Das Quiz ist ein typisches TV-Spiel, das einem TV-Veranstalter Quotengeld bringen soll. Für den jeweiligen Spieler ist es ein - einmaliges - Lottoereignis, bei welchem er eine Ziege oder ein Auto gewinnt. Da er nicht weiss, was wie gespielt wird, befindet er sich unabhängig davon, was er über Wahrscheinlichkeitstheorie weiss, in einem Dilemma (siehe das Gefangenenilemma), weil er wissen müsste, wie sich der Moderator entschieden hat.

Wenn der Spieler - aufgrund von Erfahrung mit sochen TV-Spielen die beiden Wahlen als von einander unabhängige Ereignisse betrachtet, ist die erste Wahl ohne Relevanz, weil das Spiel dabei nie entschieden wird. Die 2. Wahl ist dann eine Wahl mit einer 50%-Chance. Es spielt also keine Rolle, ob er wechselt oder nicht.

Spieltheorie

Wenn die "Spielregeln" so festgelegt sind, dass der Spielleiter nach der ersten Wahl immer eine Türe mit einer Ziege öffnet und eine zweite Wahl erlaubt, sind damit auch die Regeln für den "Spieler" gegeben, weil dann wahrscheinlichkeitstheoretisch auch feststeht, wie sich der Spieler verhalten muss:
In diesem Fall gilt, dass die erste Teilwahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 richtig ist, dass also die Alternative dazu 2/3 sind. Wenn man dann weiss, dass das 3. Tor leer ist, sind diese 2/3 auf dem 2. Tor vereint, also muss er wechseln.
Dazu die Tabelle (aus der Wikipedia):

Das Argument von "Ask Marilyn" war spieltheoretisch für einen ganz bestimmten Fall richtig, aber wie der Quizmaster gezeigt - für das TV-Spiel falsch. Ganz abgesehen davon, was ein Spieler lieber gewinnen würde und was er von Wahrscheinlichkeiten hält, selbst wenn er diese kennt.

PS: Hier geht es auch um die Sprache: Was bezeichnen Mathematiker als Spiel und was als Wahrscheinlichkeit und welche begriffliche Konfusion zeigt sich darin.