Das Geburtstagsproblem wird oft als Beispiel dafür verwendet, dass Wahrscheinlichkeiten intuitiv häufig falsch geschätzt werden. Wie bei vielen Problemen der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit kommt es auch hier auf den genauen Kontext an. Das Geburtstagsproblem ist deshalb viel mehr ein Beispiel dafür, dass so gestellte Aufgaben falsch verstanden werden - was ja auch der Absicht des Aufgabenstellers entspricht.

Als "Geburtstagsproblem" bezeichne ich das folgende Partyspiel aus der Spieltheorie:
Wie gross ist die Chance, das an einer Party mit 23 Personen zwei Personen am gleichen Tag (ohne Beachtung des Jahrganges) Geburtstag haben?

Der gesunde Menschenverstand ahnt, dass es sich um eine Falle handeln muss, weil die naheliegende Antwort so auf der Hand liegt, dass sie nicht richtig sein kann. Damit ist aber das Problem noch nicht erkannt. Erkannt ist aber, dass es kein rechnerisches Problem sein kann, sondern dass es darum geht zu verstehen, was berechnet werden soll.

Die naheliegende Deutung - die eben nicht gemeint sein kann - wäre, dass ich mich frage, wie gross die Chance ist, dass ein andere der Partygäste am gleichen Tag Geburtstag hat wie ich. Das entspricht aber nicht dem Wortlaut der Frage.

Paraphrase:
Wenn mir jemand auf der Party eine Wette darüber anbietet, ob zwei der Anwesenden am gleichen Tag Geburtstag haben, muss ich mich natürlich zuerst fragen, ob er mehr weiss als ich. Auch wenn er mir sehr glaubhaft versichern würde, dass das nicht der Fall sei, müsste ich vernünftigerweise immer noch an eine Falle denken, wenn ich das Angebot annehmen wollte.

Die Lösung:
Die Chance beträgt etwa 50%. Es würde sich also - ohne Wissen über die Geburtsdten - um eine faire ausgeglichene Wette handeln.

Die Frage ist eben so gestellt, dass zwei beliebige Anwesende am gleichen Tag Geburtstag haben, was etwa ganz anderes ist, als ob einer mit mir das Datum teilt:

Wenn Person A am Tag X Geburtstag hat, ist die Chance, dass Person B auch am Tag X Geburtstag hat 1/365. Die Person C hat aber 2 Chancen, nämlich auch den Tag X wie ich und der Geburtstag von B, also 2/365. Person D hat dann 3/365 usw. Wenn man diese Zahlenfolge aufaddiert (also: 1 + 2 + 3 .. 23) sieht man, dass die Chance sehr viel grösser ist als 23/265.

Da es hier nicht um Wahrscheinlichkeitstheorie geht, spielt auch keine Rolle, wie die Chance mathematisch genau berechnet wird. Dazu gibt es Formeln, beispielsweise in der Wikipedia, wo auch steht, dass dad Rätsel oft R. von Mises zugeschrieben werde, dass aber D. Knuth wusste, dass das Problem unter Mathematikern schon in den 1930er Jahren diskutiert wurde.